¿Qué es una asíntota horizontal?
Una asíntota es una línea o curva que se acerca arbitrariamente a una curva determinada. En otras palabras, es una línea cercana a una curva dada, de modo que la distancia entre la curva y la línea se aproxima a cero cuando la curva alcanza valores más altos o más bajos. La región de la curva que tiene asíntota es asintótica. Las asíntotas se encuentran a menudo en funciones rotacionales, funciones exponenciales y funciones logarítmicas. La asíntota paralela al eje x se conoce como eje horizontal.
Cómo encontrar la asíntota horizontal
Existe una asíntota si la función de una curva satisface la siguiente condición. Si f(x) es la curva, entonces existe una asíntota horizontal si ,
Entonces existen asíntotas horizontales con ecuacióny=C. Si la función se aproxima al valor finito (C) en el infinito, la función tiene una asíntota en ese valor y la ecuación de una asíntota es y=C. Una curva puede cruzar esta línea en varios puntos, pero se vuelve asintótica cuando se acerca al infinito.
Para encontrar la asíntota de una función dada, encuentre los límites en el infinito.
Encontrar asíntotas horizontales – Ejemplos
- Funciones exponenciales de forma f(x)=aX y [a>0]
Las funciones exponenciales son los ejemplos más simples de asíntotas horizontales.
Tomando los límites de la función en infinitos positivos y negativos se obtiene, limx→-∞ aX =+∞ y límx→-∞ aX =0. El límite derecho no es un número finito y tiende al infinito positivo, pero el límite izquierdo se acerca a los valores finitos 0.
Por lo tanto, podemos decir que la función exponencial f(x)=aX tiene una asíntota horizontal en 0. La ecuación de la recta asíntota es y=0, que también es el eje x. Dado que a es cualquier número positivo, podemos considerarlo como un resultado general.
Cuando a=e= 2,718281828, la función también se conoce como función exponencial. f(x)=eX Tiene características específicas y por lo tanto, importante en matemáticas.
Una función de la forma f(x)=h(x)/g(x) donde h(x),g(x) son polinomios y g(x)≠0, se conoce como función racional. La función racional puede tener asíntotas tanto verticales como horizontales.
i. Considere la función f(x)=1/x
La función f(x)=1/x tiene asíntotas tanto verticales como horizontales.
Para encontrar la asíntota horizontal encuentre los límites en el infinito.
Limx→=+∞ 1/x=0+ y limx→=-∞ 1/x =0–
Cuando x→+∞, la función se acerca a 0 desde el lado positivo y cuando x→=-∞ la función se acerca a 0 desde la dirección negativa.
Dado que la función tiene un valor finito 0 cuando se aproxima a infinitos, podemos deducir que la asíntota es y=0.
ii. Considere la función f(x)=4x/(x2+1)
Nuevamente encuentre los límites en el infinito para determinar la asíntota horizontal.
Nuevamente la función tiene asíntota y=0, también en este caso la función corta la recta asíntota en x=0
III. Considere la función f(x)=(5x2+1)/(x2+1)
Tomando los límites en el infinito se obtiene,
Por lo tanto, la función tiene límites finitos en 5. Entonces, la asíntota es y=5
