Calculadora de relación de transmisión diferencial
Introducción
Para ser claro desde el principio, este artículo no explica cómo calcular la relación de transmisión para un conjunto determinado de engranajes. Si quieres saber cómo calcular la relación de transmisión para un par de engranajes determinado, lee el artículo ¿Cómo calcular una relación de transmisión?
Este artículo explica cómo se elige/calcula/determina la relación de transmisión del diferencial para un vehículo determinado, para el cual conocemos ciertos parámetros.
Al diseñar el sistema de propulsión de un vehículo nuevo, independientemente de si es propulsado por un motor de combustión interna o por una máquina eléctrica, debemos decidir qué relación de transmisión vamos a tener en el diferencial (también llamado mando final).
Si revisas diferentes vehículos, verás que tienen diferentes relaciones de transmisión para su diferencial. Algunos ejemplos se describen en la siguiente tabla:
| Vehículo | Velocidad máxima [kph] | Tamaño de la rueda | Velocidad del motor/motor @ máximo poder [rpm] | marcha superior [-] | Relación de transmisión final [-] |
| BMW M2 modelo 19 | 280 | 265/35 ZR 19 98Y | 6250 | 0,85 | 3.46 |
| Ford Mustang Mach-E modelo 21 | 180 | 225/60R18 | 12000 | 1.00 | 9.05 |
Los datos del BMW se extrajeron de carfolio.com. Los datos del Ford Mustang Mach-E se extrajeron de varias fuentes de Internet. La velocidad máxima del motor es una aproximación, todos los demás datos los proporciona el fabricante.
Como puede ver, existen diferentes valores para la relación de transmisión del diferencial. La pregunta que intentaremos responder es: ¿Qué relación de transmisión debe tener mi diferencial? La respuesta a esta pregunta proviene de la física, no es una suposición.
Para calcular la relación de transmisión del diferencial necesitamos saber lo siguiente:
- la velocidad máxima del vehículo
- el radio de rodadura de la rueda
- el régimen del motor para potencia máxima (si el vehículo está propulsado por un motor de combustión interna) o el régimen máximo del motor (en el caso de un vehículo eléctrico)
- la marcha (última marcha de la caja de cambios) en la que se obtiene la velocidad máxima (normalmente es la marcha más alta para vehículos con alto rendimiento dinámico o la marcha anterior a la marcha más alta para la mayoría de los vehículos)
La velocidad máxima del vehículo es un valor preestablecido, es un objetivo de diseño. Normalmente, cuando un fabricante diseña un vehículo nuevo definirá cuál es su velocidad máxima.
El radio de rodadura se puede aproximar utilizando el símbolo del neumático (p. ej. 225/60R18). Para entender cómo calcular el radio de rodadura a partir del símbolo del neumático, lea el artículo Cómo calcular el radio de la rueda.
Si el vehículo está propulsado por un motor de combustión interna, entonces necesitamos conocer las características del motor en términos de velocidad del motor a máxima potencia. Esto es necesario porque la velocidad máxima del vehículo se obtiene cuando el motor gira a máxima potencia (normalmente un 5% por encima de la velocidad máxima de potencia). También suponemos que sabemos en qué marcha de la caja de cambios se obtiene la velocidad máxima.
 Imagen: Criterios de velocidad máxima en función de la potencia y las cargas en carretera – motor de combustión interna |  Imagen: Criterios de velocidad máxima en función de la potencia y las cargas en carretera – motor eléctrico |
Si el vehículo está propulsado por un motor eléctrico, la velocidad máxima del vehículo se obtiene a la velocidad máxima del motor eléctrico. Otra diferencia a notar es que, normalmente, los vehículos eléctricos tienen una sola reducción, que es la del diferencial (mando final). Dado que los vehículos eléctricos actuales no tienen cajas de cambios de varios pasos, la marcha máxima no existe, por lo que en nuestro método de cálculo consideraremos que su relación es 1,00 (lo que significa que no influye en la velocidad ni en la salida de par).
La suposición principal al calcular la relación de transmisión diferencial es que la velocidad máxima del vehículo se obtiene a la velocidad máxima del motor (ICE) o a la velocidad máxima del motor (motor eléctrico). A partir de esta suposición podemos dibujar un esquema cinemático simplificado del sistema de propulsión.
Imagen: cálculo de la relación de transmisión diferencial – esquema cinemático
dónde:
NPmáx [rpm] – es la velocidad del motor a máxima potencia
iX [-] – relación de transmisión (caja de cambios) de la marcha engranada
i0 [-] – relación de transmisión diferencial
NIN [rpm] – velocidad de entrada del diferencial
Nout [rpm] – velocidad de salida del diferencial
NVmáx [rpm] – velocidad de las ruedas a la velocidad máxima del vehículo
Observación: En el caso de los vehículos eléctricos (EV), el par de engranajes que forma el iX La relación de transmisión no existe. La salida del motor eléctrico está conectada directamente al eje de entrada diferencial.
Valor inicial de la relación de transmisión.
Dado que existe una conexión mecánica entre el motor y la rueda, sin deslizamiento, y suponiendo que el vehículo circula en línea recta, podemos escribir el balance de velocidades del diferencial:
La velocidad de entrada diferencial se puede escribir en función de la velocidad del motor y de la marcha engranada de la caja de cambios:
Además, la velocidad de salida diferencial es igual a la velocidad de la rueda (suponiendo que los neumáticos no patinen):
La velocidad de rotación de la rueda se puede escribir en función de la velocidad del vehículo y del radio de la rueda:
Reemplazar (4) en (3) y luego (2) y (3) en (1) da:
Como comentamos anteriormente, consideraremos que en el caso de un vehículo propulsado por un motor de combustión interna, la velocidad máxima del vehículo se obtiene a una velocidad superior a la velocidad máxima de potencia. Por lo tanto introduciremos un coeficiente de velocidad máxima cNmáx que se multiplicará por NPmáx.
De (6) podemos extraer la ecuación que calcula la relación de transmisión diferencial inicial:
Valor final de la relación de transmisión.
La ecuación (7) proporciona el valor teórico (inicial, bruto) de la relación de transmisión del diferencial. La relación de transmisión real (final) se calcula a partir del número de dientes del engranaje. Para calcular esto primero debemos establecer el número de dientes del engranaje de entrada (piñón) zEN [-].
El número mínimo de dientes para el engranaje de entrada depende del tipo de engranajes utilizados para el diferencial.
 Imagen: Engranaje cónico hipoideCrédito: indiamart.com |  Imagen: Engranaje helicoidal de eje paraleloCrédito: hpceurope.com |
Dependiendo de la disposición del sistema de propulsión, los vehículos tienen diferentes juegos de engranajes para el diferencial:
- Los vehículos con motor/motor longitudinal tienen engranajes cónicos hipoides, debido a que el eje del eje de salida de la caja de cambios es perpendicular al eje del eje motriz.
- Los vehículos con motor/motor transversal tienen engranajes helicoidales, debido a que el eje del eje de salida de la caja de cambios es paralelo al eje del eje motriz.
En general, los vehículos con motores de combustión interna tienen engranajes cónicos hipoides y helicoidales, según la ubicación y el soporte del motor. Sin embargo, los vehículos eléctricos tienen engranajes helicoidales de eje paralelo para el diferencial, ya que el eje del motor es paralelo al eje del eje motriz.
Para el engranaje cónico hipoide, el número mínimo de dientes depende del valor de la relación de transmisión. [1]. El engranaje de entrada se llama piñón y tiene menos dientes que el engranaje de salida.
| i0 [-] | 2.5 | 3 | 4 | 5 | 6-7 | >7 |
| zEN [-] | *15 | *12 | 9 | 7 | 5 | 5 |
* para relaciones de transmisión inferiores a 3, el piñón puede tener 11 dientes o más
Para engranajes helicoidales, el número mínimo de dientes del engranaje de entrada puede ser cualquier número entre 14 y 17. [1]. En el caso de los vehículos eléctricos, si la relación de transmisión final es alta (> 10,00), el mecanismo de engranaje simple se puede dividir en un tren de engranajes de dos etapas. Esto generalmente se hace para limitar el tamaño del engranaje de salida.
 Imagen: Conjunto de engranajes helicoidales de dos etapas – 3 ejes paralelosCrédito: indiamart.com |  Imagen: Conjunto de engranajes helicoidales de dos etapas – 2 ejes concéntricosCrédito: galería.autodesk.com |
En el caso del conjunto de engranajes de dos etapas, la relación de transmisión global será el producto entre las relaciones de transmisión intermedias:
Para simplificar, en nuestros ejemplos de cálculo sólo vamos a considerar juegos de engranajes simples para el diferencial.
El número de dientes de los engranajes diferenciales son sólo estimaciones aproximadas (valores iniciales). El número final dependerá de varios factores como: geometría, tamaño, fiabilidad, proceso de fabricación, etc.
Después de decidir el tipo de juego de engranajes, podemos elegir el número de dientes para el engranaje de entrada (piñón). Como ejemplo, podemos elegir varios valores, por ejemplo:
zIN=11,12,13
El siguiente paso es calcular el número de dientes del engranaje de salida z.out [-]que es el producto entre el número de dientes del engranaje de entrada y la relación de transmisión inicial del diferencial.
La ecuación (9) dará un número real para el número de dientes del engranaje de salida. Necesitaremos redondear este número al número entero más cercano. Por ejemplo si zout = 73.234 se redondeará a 73, si zout = 81,74 se redondeará a 82.
Corrección de la relación de transmisión
Desde zout será diferente del valor calculado inicial, necesitamos volver a calcular la relación de transmisión con el valor redondeado de zout.
Con la relación de transmisión recalculada también podemos recalcular la velocidad máxima del vehículo, para ver las desviaciones respecto al valor inicial. Si reordenamos la ecuación (7), obtendremos la expresión de la velocidad máxima como:
Para asegurarnos de que se cumpla el requisito de velocidad máxima, presentaremos solo las relaciones de transmisión para las cuales se alcanza o excede la velocidad máxima.
El criterio final del cálculo de la relación de transmisión es el error relativo entre el valor inicial de la relación de transmisión y los valores finales después del redondeo de z.out.
La relación de transmisión que tenga el menor error relativo será elegida como valor final para el diferencial (mando final).
Diagrama lógico
Todos los pasos para el cálculo de la relación de transmisión del diferencial se resumen en el diagrama lógico siguiente.
Imagen: cálculo de la relación de transmisión diferencial – diagrama lógico
Ejemplo para un vehículo de combustión interna
Para el vehículo BMW de la tabla anterior, calculemos la relación de transmisión final (diferencial) en función de los datos de entrada. Como ya tenemos el valor real de la relación de transmisión, podemos compararlo con nuestro valor calculado para validar el proceso de cálculo.
Paso 1. Calcule el radio de la rueda; consulte el artículo Cómo calcular el radio de la rueda para obtener más detalles.
Paso 2. Calcule la relación de transmisión inicial usando la ecuación (7).
Como puede ver, el valor calculado inicial de 3,472 está muy cerca del valor del fabricante de 3,46.
Paso 3. Establezca 4 valores para el número de dientes del engranaje de entrada (piñón).
Etapa 4. Calcule el número de dientes para el engranaje de salida usando la ecuación (9) y redondee hacia el entero más cercano.
Paso 5. Vuelva a calcular la relación de transmisión diferencial usando la ecuación (10).
Paso 6. Vuelva a calcular la velocidad máxima del vehículo utilizando la ecuación (11) y redondee hacia el entero más cercano.
Como puede ver, para la relación de transmisión de 3,5 la velocidad máxima del vehículo está por debajo del objetivo inicial de 280 km/h. Por este motivo no vamos a considerar la relación de transmisión de 3,5 para nuestra decisión final.
Paso 7. Calcule el error relativo de las relaciones de transmisión finales 3,455 y 3,462 en comparación con el valor inicial de 3,472 utilizando la ecuación (12).
El error más pequeño corresponde a la relación de transmisión de 3,462, por lo que se elegirá para el vehículo como parámetro de diseño.
Paso 8. Enumere los parámetros finales para el cálculo de la relación de transmisión.
Como puede ver, nuestro valor calculado (hasta el segundo decimal) es exactamente el mismo que el proporcionado por el fabricante, lo que demuestra que el método de cálculo es correcto.
Observación: Esta metodología de cálculo tiene en cuenta principalmente los criterios de velocidad máxima y algunos criterios de geometría de engranaje. En realidad, la decisión sobre el número de dientes del juego de engranajes puede tener en cuenta otros factores como: fabricación, desgaste, fiabilidad, geometría, etc. y el resultado final de la relación de transmisión puede diferir.
Ejemplo de vehículo eléctrico
Para el vehículo Ford Mach-E de la tabla anterior, calculemos la relación de transmisión final (diferencial) según los datos de entrada. Como ya tenemos el valor real de la relación de transmisión proporcionado, podemos compararlo con nuestro valor calculado para validar el proceso de cálculo.
Paso 1. Calcule el radio de la rueda; consulte el artículo Cómo calcular el radio de la rueda para obtener más detalles.
Paso 2. Calcule la relación de transmisión inicial usando la ecuación (7).
Como puede ver, el valor calculado inicial de 9,148 está relativamente cerca del valor del fabricante de 9,050.
Paso 3. Establezca 4 valores para el número de dientes del engranaje de entrada (piñón).
Etapa 4. Calcule el número de dientes para el engranaje de salida usando la ecuación (9) y redondee hacia el entero más cercano.
Paso 5. Vuelva a calcular la relación de transmisión diferencial usando la ecuación (10).
Paso 6. Vuelva a calcular la velocidad máxima del vehículo utilizando la ecuación (11) y redondee hacia el entero más cercano.
Como puede ver, para la relación de transmisión de 9,176, la velocidad máxima del vehículo está por debajo del objetivo inicial de 180 km/h. Por este motivo no vamos a considerar la relación de transmisión de 9,176 para nuestra decisión final.
Paso 7. Calcule el error relativo de las relaciones de transmisión finales de 9.143, 9.133, 9.125 y compárelo con el valor inicial de 9.148 usando la ecuación (12).
El error más pequeño corresponde a la relación de transmisión de 9,143, por lo que se elegirá para el vehículo como parámetro de diseño.
Paso 8. Enumere los parámetros finales para el cálculo de la relación de transmisión.
Como puede ver, nuestro valor calculado de la relación de transmisión es relativamente más cercano al publicado por el fabricante.