Cómo calcular la fuerza (gradiente) de la pendiente de la carretera

Definición

El fuerza de pendiente del camino (gradiente) es la fuerza que actúa sobre el vehículo cuando circula por una carretera con una determinada pendiente (pendiente). La fuerza de la pendiente de la carretera aparece debido a la descomposición de la fuerza del peso del vehículo en dos direcciones:

• Eje longitudinal del vehículo: fuerza de la pendiente de la carretera.
• Eje vertical (normal) del vehículo.

La fuerza de la pendiente de la carretera actúa de forma diferente, dependiendo del signo de la pendiente:

• Pendiente positiva de la carretera (ascenso): la fuerza de la pendiente es resistiva al movimiento del vehículo, intenta frenar el vehículo.
• Pendiente negativa de la carretera (descendente): la fuerza de la pendiente acelera el vehículo.

Dependiendo del país o la industria, la carretera pendiente es tambien llamado degradado, inclinación o calificación pero al final se refiere al mismo rasgo físico del camino.

Fórmula

Imagen: Diagrama de fuerza de la pendiente de la carretera

Suponiendo que tenemos una carretera con un ángulo de pendiente θ [°]si descomponemos la fuerza del peso W [N] del vehículo a lo largo de los ejes longitudinal y vertical del vehículo, obtenemos la expresión de la fuerza de pendiente de la carretera F_rs [N] como:

(1)

F_rs = W · sin(θ) = m · g · sin(θ)

donde m [kg] es la masa del vehículo y g [m/s²] es la aceleración gravitacional.

La potencia de la pendiente del camino P_rs [W] se puede calcular multiplicando la fuerza de la pendiente de la carretera F_rs [N] con la velocidad del vehículo v [m/s]:

(2)

P_rs =F_rs · v = m · g · sin(θ) · v

La potencia de pendiente de la carretera es la cantidad de potencia en las ruedas motrices necesaria para que el vehículo pueda subir una colina con una pendiente θ [°].

Pendiente del camino

La pendiente de una carretera concreta se puede expresar de varias formas:

• como porcentaje, por ejemplo 4%
• como una relación entre «subida» y «carrera», por ejemplo 1:20, donde 1 es la «subida» y 20 es la «carrera».
• como un ángulo en radianes, por ejemplo 5 °

Para calcular la fuerza y ​​potencia de la pendiente de la carretera, necesitamos tener el ángulo de pendiente en radianes.

Imagen: Conversión de pendiente (pendiente) a ángulo de la carretera

En la imagen de arriba la pendiente de la carretera es del 10%. Este porcentaje surge de la relación entre “subida” y “corrida” multiplicada por 100.

(3)

s [%] = (y/x) · 100

Para calcular el ángulo, podemos usar la función arco tangente:

(4)

θ [rad] = atan(y/x)

El ángulo se puede convertir de radianes a grados como:

(5)

θ [°] = θ [rad] · 180/π

Para ángulos pequeños, las funciones tangente y seno son casi iguales, lo que significa que podemos reemplazar la función seno con el valor de pendiente real, dado por la relación entre «subida» y «corrida».

(6)

sin(θ) = tan (θ) = y/x = s [%] / 100

La ecuación (6) se puede utilizar en aplicaciones de software integradas para evitar la implementación de funciones trigonométricas. De acuerdo a [1]para pendientes inferiores al 20%, el uso de esta aproximación da un error inferior al 2%.

En la siguiente tabla puedes ver los diferentes valores de la pendiente de la carretera en diferentes formatos.

Pendiente del camino [rise:run]	Pendiente del camino [%]	Ángulo de pendiente [rad]	Ángulo de pendiente [°]	sin(ángulo de pendiente) [-]	Pendiente del camino [rise/run]	Aproximación Error [%]
1:1	100	0,7854	45	0.7071	1	41,42
1:2	50	0.4636	26,57	0.4472	0,5	11.8
1:3	33.33	0.3218	18.43	0.3162	0.3333	5.41
1:4	25	0.245	14.04	0,2425	0,25	3.08
1:5	20	0,1974	11.31	0,1961	0,2	1,98
1:6	16.67	0.1651	9.46	0.1644	0.1667	1.38
1:7	14.29	0.1419	8.13	0,1414	0,1429	1.02
1:8	12.5	0,1244	7.13	0,124	0,125	0,78
1:9	11.11	0.1107	6.34	0.1104	0.1111	0,62
1:10	10	0.0997	5.71	0.0995	0.1	0,5
1:11	9.09	0.0907	5.19	0.0905	0.0909	0,41
1:12	8.33	0.0831	4.76	0.083	0.0833	0,35
1:13	7,69	0.0768	4.4	0.0767	0.0769	0.3
1:14	7.14	0.0713	4.09	0.0712	0.0714	0,25
1:15	6.67	0.0666	3.81	0.0665	0.0667	0,22
1:16	6.25	0.0624	3.58	0.0624	0.0625	0,2
1:17	5,88	0.0588	3.37	0.0587	0.0588	0,17
1:18	5.56	0.0555	3.18	0.0555	0.0556	0,15
1:19	5.26	0.0526	3.01	0.0526	0.0526	0,14
1:20	5	0,05	2,86	0.0499	0,05	0,12
1:21	4.76	0.0476	2.73	0.0476	0.0476	0,11
1:22	4.55	0.0454	2.6	0.0454	0.0455	0.1
1:23	4.35	0.0435	2.49	0.0434	0.0435	0,09
1:24	4.17	0.0416	2.39	0.0416	0.0417	0,09
1:25	4	0,04	2.29	0,04	0,04	0,08
1:26	3.85	0.0384	2.2	0.0384	0.0385	0,07
1:27	3.7	0.037	2.12	0.037	0.037	0,07
1:28	3.57	0.0357	2.05	0.0357	0.0357	0,06
1:29	3.45	0.0345	1,97	0.0345	0.0345	0,06
1:30	3.33	0.0333	1.91	0.0333	0.0333	0,06
1:31	3.23	0.0322	1,85	0.0322	0.0323	0,05
1:32	3.13	0.0312	1,79	0.0312	0.0313	0,05
1:33	3.03	0.0303	1.74	0.0303	0.0303	0,05
1:34	2.94	0.0294	1,68	0.0294	0.0294	0,04
1:35	2,86	0.0286	1,64	0.0286	0.0286	0,04
1:36	2.78	0.0278	1,59	0.0278	0.0278	0,04
1:37	2.7	0,027	1,55	0,027	0,027	0,04
1:38	2.63	0.0263	1.51	0.0263	0.0263	0,03
1:39	2.56	0.0256	1.47	0.0256	0.0256	0,03
1:40	2.5	0.025	1.43	0.025	0.025	0,03
1:41	2.44	0.0244	1.4	0.0244	0.0244	0,03
1:42	2.38	0.0238	1.36	0.0238	0.0238	0,03
1:43	2.33	0.0233	1.33	0.0232	0.0233	0,03
1:44	2.27	0.0227	1.3	0.0227	0.0227	0,03
1:45	2.22	0.0222	1.27	0.0222	0.0222	0,02
1:46	2.17	0.0217	1.25	0.0217	0.0217	0,02
1:47	2.13	0.0213	1.22	0.0213	0.0213	0,02
1:48	2.08	0.0208	1.19	0.0208	0.0208	0,02
1:49	2.04	0.0204	1.17	0.0204	0.0204	0,02
1:50	2	0,02	1.15	0,02	0,02	0,02

Ejemplo

Un vehículo de 2000 kg de masa necesita subir por una carretera con una pendiente de 1:3. Calcule la fuerza requerida de la rueda. ¿Cuál es la potencia necesaria en las ruedas para mover el vehículo a una velocidad de 10 km/h?

Paso 1. Calcule el ángulo de pendiente de la carretera usando las ecuaciones (4).

θ = atan(1/3) = 0,32175 rad

Paso 2. Calcule la fuerza de la pendiente de la carretera usando la ecuación (1).

F_rs = 2000 · 9,81 · sin(0,32175) = 6204 N

Paso 3. Calcule la potencia de la pendiente de la carretera usando la ecuación (2).

P_rs = 6204 · (10/3,6) = 17234 W = 17,234 kW

Referencias