El neumático de un vehículo debe soportar fuerzas y pares de varios ejes, dependiendo de su estado de conducción y dirección de la marcha. En la zona de contacto de un neumático con un eje motriz, podemos encontrar fuerzas longitudinales, fuerzas laterales (laterales), fuerzas verticales y pares de alineación.
El propósito de este artículo es definir un modelo matemático de un neumático, que pueda usarse para calcular la fuerza longitudinal en un neumático (frenado/tracción) en función de la carga vertical del neumático. El modelo matemático de un neumático se puede utilizar con fines de simulación, principalmente para el desarrollo de estrategias de control de deslizamiento de las ruedas o para simuladores de conducción (por ejemplo, juegos de carreras).
Imagen: Fuerzas en la rueda motriz
dónde:
FX [N] – fuerza longitudinal del neumático
Fy [N] – fuerza lateral del neumático
Fz [N] – fuerza vertical del neumático
Mz [Nm] – par de alineación de neumáticos
Ω [rad/s] – velocidad angular del neumático
V [m/s] – velocidad longitudinal del neumático
α [°] – ángulo de deslizamiento del neumático
La fuerza longitudinal del neumático se genera cuando el vehículo circula en línea recta, durante la aceleración o el frenado. La fuerza lateral de la rueda se genera cuando el vehículo cambia de dirección, al tomar una curva. La fuerza vertical del neumático viene dada por el peso del vehículo y depende del comportamiento dinámico de la suspensión.
Para una rueda que gira libremente, su velocidad longitudinal se calcula como:
[V_{x0} = r_{w} cdot Omega_{0}]
dónde:
Vx0 [m/s] – velocidad longitudinal del neumático en rodadura
rw [m] – radio de rodadura del neumático
Ω0 [rad/s] – velocidad angular del neumático en rodadura
Cuando se aplica un par al neumático, ya sea para acelerar o frenar, se produce un deslizamiento longitudinal entre el neumático y el vehículo, calculado como:
[ begin{split}
k = left{begin{matrix}
– frac{V_{x0}-r_{w} cdot Omega}{V_{x0}} = – frac{Omega_{0}-Omega}{Omega_{0}} text{, } a_{v}<0\
frac{r_{w} cdot Omega – V_{x0}}{r_{w} cdot Omega} = frac{Omega-Omega_{0}}{Omega} text{, } a_{v}>0
end{matrix}right.
end{split} ]
dónde:
k [-] – deslizamiento longitudinal del neumático
Ω [rad/s] – frenado/aceleración de la velocidad angular del neumático
a [m/s2] – aceleración del vehículo
Durante la frenada, si la rueda está completamente bloqueada (Ω = 0), el deslizamiento del neumático alcanzará su mínimo, -1. Durante la aceleración, si la rueda gira pero el vehículo está parado (Ω0 = 0), el deslizamiento del neumático alcanza su máximo, 1.
El deslizamiento lateral de un neumático se define como la relación entre la velocidad lateral y longitudinal de la rueda. Esto es equivalente a la tangente del ángulo de deslizamiento.
[tan(alpha) = – frac{V_{y}}{V_{x}}]
El signo del deslizamiento lateral del neumático se ha elegido de modo que las fuerzas laterales del neumático se vuelven positivas cuando el ángulo de deslizamiento del neumático es positivo.
Imagen: Características combinadas de fuerza lateral y fuerza de frenado
Crédito: [1]
Las fuerzas laterales (laterales) y longitudinales (freno/tracción) del neumático dependen en gran medida del deslizamiento de freno/tracción y del ángulo de deslizamiento lateral del neumático.
El par de alineación, también conocido como par de autoalineación o momento de alineación es el par generado en un neumático en rodadura, que tiende a hacer girar la rueda alrededor de su eje vertical. Cuando el ángulo de deslizamiento lateral del neumático es distinto de cero, el par de alineación tiende a girar la rueda en la dirección de marcha, de ahí el nombre de par de autoalineación.
Imagen: Fuerza lateral de la rueda y par de alineación
Crédito: [1]
La rueda ángulo de caída se define como el ángulo entre el eje vertical de la rueda utilizada para la dirección y el eje vertical del vehículo cuando se ve desde la parte delantera o trasera.
Las fuerzas longitudinales y laterales de los neumáticos y el par de alineación dependen de cuatro parámetros principales:
- deslizamiento longitudinal del neumático
- deslizamiento lateral del neumático
- ángulo de inclinación de la rueda
- carga vertical del neumático (fuerza)
Para fines de simulación, necesitamos tener una expresión matemática de la función de las fuerzas de los neumáticos de los parámetros anteriores. Un método para hacerlo es utilizando el Formula magica ecuaciones. Este método fue desarrollado por Hans B. Pacejka [1].
Estas ecuaciones se llaman «Formula magica» porque no existe una base física particular para la estructura de las ecuaciones, pero se ajustan a una amplia variedad de construcciones de neumáticos y condiciones de operación. Hay un conjunto de ecuaciones y parámetros para cada uno: fuerza longitudinal del neumático, fuerza lateral del neumático y momento de autoalineación. Los parámetros se determinan como el mejor ajuste entre los datos experimentales y el modelo de neumático.
En este artículo nos centraremos únicamente en las ecuaciones de la fuerza longitudinal del neumático, de frenado y aceleración.
Fórmula mágica del modelo de neumático con parámetros constantes
La forma más simple de la Fórmula Mágica de Pacejka tiene una ecuación con parámetros constantes:
[F_{z} = F_{z} cdot D cdot sin left ( C cdot arctan left { B cdot k – E cdot left [ B cdot k – arctan(B cdot k) right ] bien bien )]
Como puedes ver, la fuerza longitudinal FX [N] depende sólo de dos variables: la carga vertical Fz [N] y el deslizamiento longitudinal del neumático k [-].
Los parámetros adimensionales B, C, D y mi tienen valores constantes. Estos parámetros se llaman:
- B: factor de rigidez
- C: factor de forma
- D: factor pico
- E: factor de curvatura
Dependiendo de la superficie de la carretera, estos parámetros tienen diferentes valores. [2]:
| Superficie | B | C | D | mi |
| Asfalto seco | 10 | 1.9 | 1 | 0,97 |
| asfalto mojado | 12 | 2.3 | 0,82 | 1 |
| Nieve | 5 | 2 | 0.3 | 1 |
| Hielo | 4 | 2 | 0.1 | 1 |
La carga vertical de los neumáticos se puede calcular en función del peso del vehículo. Si consideramos que, para un vehículo de 4 ruedas, su peso se reparte equitativamente entre las ruedas:
[F_{z} = frac{G_{v}}{4} = frac{m_{v} cdot g}{4}]
Dónde:
Gv [N] – peso del vehículo
mv [kg] – masa del vehículo
g [m/s2] – aceleración gravitacional
Modelo de neumático Parámetros dependientes de la carga Fórmula mágica
Una versión más realista de la Fórmula Mágica tiene los parámetros de la ecuación dependientes del deslizamiento longitudinal del neumático y de la carga vertical. [1].
[F_{x} = D_{x} cdot sin left ( C_{x} cdot arctan left { B_{x} cdot k_{x} – E_{x} cdot left [ B_{x} cdot k_{x} – arctan(B_{x} cdot k_{x}) right ] right } right )+S_{Vx}]
Los valores de los coeficientes vienen dados por las ecuaciones:
[ begin{split}
df_{z} &= frac{F_{z}-F_{z0}}{F_{z0}}\
mu_{x} &= D_{x1} + D_{x2} cdot df_{z}\
S_{Hx} &= H_{x1} + H_{x2} cdot df_{z}\
S_{Vx} &= F_{z} cdot (V_{x1} + V_{x2} cdot df_{z})\
K_{xk} &= F_{z} cdot (K_{x1} + K_{x2} cdot df_{z}) cdot e^{K_{x3} cdot df_{z}}\
D_{x} &= mu_{x} cdot F_{z}\
C_{x} &= C_{x1}\
B_{x} &= frac{K_{xk}}{C_{x} cdot D_{x} + epsilon_{x}}\
k_{x} &= k + S_{Hx}\
E_{x} &= (E_{x1} + E_{x2} cdot df_{z} + E_{x3} cdot df_{z}^{2}) cdot (1 – E_{x4} cdot text{sgn}(k_{x}))
end{split} ]
Shx y SVx son compensaciones del deslizamiento del neumático y la fuerza longitudinal en la función de fuerza de deslizamiento, o compensaciones horizontales y verticales si la función se traza como una curva. µX es el coeficiente de fricción longitudinal dependiente de la carga. εX es un número muy pequeño que se utiliza para evitar la división por cero como Fz se aproxima a cero. dfz es el cambio normalizado en la carga vertical del neumático.
Un conjunto de coeficientes para las ecuaciones anteriores se puede encontrar en [1]:
| Cx1 | Dx1 | Dx2 | mix1 | mix2 | mix3 | mix4 |
| 1.685 | 1.21 | -0.037 | 0.344 | 0.095 | -0,02 | 0 |
| kx1 | kx2 | kx3 | hx1 | hx2 | Vx1 | Vx2 |
| 21.51 | -0,163 | 0.254 | -0.002 | 0.002 | 0 | 0 |
Calculadora de modelo de neumático para fuerzas longitudinales
Para generar la función de fuerza longitudinal del neumático en función del deslizamiento del neumático, utilice la siguiente calculadora. También puede ajustar los parámetros para obtener la forma deseada de las curvas.
Modelo de neumáticos para fuerzas longitudinales en Scilab
También podemos utilizar Scilab para generar las fuerzas longitudinales de los neumáticos. El primer ejemplo es para el modelo de neumático con parámetros constantes.
clear()
clc()
clf()
// Tire model constant coefficients
B = [10 12 5 4];
C = [1.9 2.3 2 2];
D = [1 0.82 0.3 0.1];
E = [0.97 1 1 1];
// Vehicle parameters
mv = 2000;
g = 9.81;
Fz = (mv*g)/4;
// Plot setup parameters
surface = ["Dry tarmac" "Wet tarmac" "Snow" "Ice"];
colors = ["k" "purple" "steelblue" "deepskyblue"];
// Wheel slip
slip = [-1:0.01:1];
// Plot
for i=1:length(B)
for j=1:length(slip)
Fx(i,j) = Fz * D(i) * sin(C(i)*atan(B(i)*slip(j)-E(i)*(B(i)*slip(j)-atan(B(i)*slip(j)))));
end
plot(slip,Fx(i,:),"Color",colors(i),"LineWidth",2)
end
xgrid()
xlabel("Wheel slip [-]")
ylabel("Tire longitudinal force, Fx [N]")
title("x-engineer.org","Color","blue")
legend(surface,2)Al ejecutar las instrucciones de Scilab anteriores, obtenemos la siguiente representación gráfica:
Imagen: Fuerza longitudinal del neumático – coeficientes constantes
clear()
clc()
clf()
// Tire model load dependent coefficients
Cx1 = 1.685;
Dx1 = 1.21;
Dx2 = -0.037;
Ex1 = 0.344;
Ex2 = 0.095;
Ex3 = -0.02;
Ex4 = 0;
Kx1 = 21.51;
Kx2 = -0.163;
Kx3 = 0.254;
Hx1 = -0.002;
Hx2 = 0.002;
Vx1 = 0;
Vx2 = 0;
epsx = 1e-9;
// Vehicle and environmental parameters
mv = 2000;
g = 9.81;
Fz0 = (mv*g)/4;
// Wheel slip and tire vertical load
slip = [-1:0.01:1];
Fz = [500:500:Fz0];
// Tire longitudinal calculation
for i=1:length(Fz)
dfz(i) = (Fz(i)-Fz0)/Fz0;
mux(i) = Dx1 + Dx2 * dfz(i);
SHx(i) = Hx1 + Hx2 * dfz(i);
SVx(i) = Fz(i) * (Vx1 + Vx2 * dfz(i));
Kxk(i) = Fz(i) * (Kx1 + Kx2 * dfz(i)) * exp(Kx3 * dfz(i));
Dx(i) = mux(i) * Fz(i);
Cx(i) = Cx1;
Bx(i) = Kxk(i) / (Cx(i) * Dx(i) + epsx);
for j=1:length(slip)
kx(i,j) = slip(j) + SHx(i);
Ex(i,j) = (Ex1 + Ex2 * dfz(i) + Ex3 * dfz(i)^2) * (1 - Ex4 * sign(kx(i,j)));
Fx(i,j) = Dx(i)*sin(Cx(i)*atan(Bx(i)*kx(i,j)-Ex(i,j)*(Bx(i)*kx(i,j)-atan(Bx(i)*kx(i,j)))))+SVx(i);
end
plot(slip,Fx(i,:),"LineWidth",1)
xstring(0.15,max(Fx(i,:)),strcat(["Fz = " string(Fz(i)) " N"]));
end
// Pot setup
xgrid()
xlabel("Wheel slip [-]")
ylabel("Tire longitudinal force, Fx [N]")
title("x-engineer.org","Color","blue")Al ejecutar las instrucciones de Scilab anteriores, obtenemos la siguiente representación gráfica:
Imagen: Fuerza longitudinal del neumático – coeficientes dependientes de la carga
Modelo de neumáticos para fuerzas longitudinales en Xcos
Para fines de simulación de la dinámica del chasis, es posible que necesitemos implementar la Fórmula Mágica en Xcos. El siguiente modelo implementa el modelo de parámetros constantes y dependientes de la carga utilizando el diagrama de bloques Xcos.
Imagen: Fuerza longitudinal del neumático – modelo Xcos
El deslizamiento longitudinal de los neumáticos se genera mediante un mapa de interpolación, basado en el tiempo de simulación.
El Constant Coefficients El modelo Xcos se implementa como:
Imagen: Coeficientes constantes – Modelo Xcos
Los parámetros constantes deben cargarse en el espacio de trabajo de Scilab antes de ejecutar la simulación.
El Load Dependent Coefficients El modelo Xcos se implementa utilizando un bloque C:
Imagen: Coeficientes dependientes de la carga – Modelo Xcos
Al ejecutar la simulación y realizar un posprocesamiento de la fuerza longitudinal del neumático guardada en el espacio de trabajo de Scilab, obtenemos las siguientes formas:
Imagen: Fuerzas longitudinales de los neumáticos: coeficientes constantes (izquierda) y dependientes de la carga (derecha)
Conclusión
Los modelos de neumáticos Magic Formula de Pacejka se utilizan ampliamente en simulaciones profesionales de dinámica de vehículos y juegos de carreras de autos, ya que son razonablemente precisos, fáciles de programar y de resolver rápidamente. Cada neumático se caracteriza por una serie de coeficientes (10 – 20) para cada fuerza importante que puede producir en la zona de contacto, normalmente fuerza lateral y longitudinal, y par de autoalineación, como mejor ajuste entre los datos experimentales y el modelo. Luego, estos coeficientes se utilizan para generar ecuaciones que muestran cuánta fuerza se genera para una carga vertical determinada en el neumático, el ángulo de caída y el ángulo de deslizamiento.
